בהפועל תל אביב נחושים לצרף מיידית את שוער הפועל קריית שמונה, אסף צור, שרשם עונה מצוינת ונחשב לאחד השוערים הטובים בליגה.
ההערכה שאם הכל יתקדם כשורה, צור יסכם בחוזה ל-3 שנים, כאשר בשלב זה הוא נמצא במשא ומתן מתקדם עם העולה החדשה לליגת העל.
צור התחיל את דרכו במחלקת הנוער של הפועל פתח תקווה. ב-2016 צור עבר להפועל רעננה, וחתם על חוזה לחמש עונות. בעונתו הראשונה במועדון שימש כשוער הראשון של קבוצת הנוער, וב-6 במאי 2017 ערך את הופעת הבכורה שלו בליגת העל.
את עונת 2017/18 פתח בין הקורות בקבוצה הבוגרת, אך לאחר הצטרפותו של גיירמו ויסקארה איבד את מקומו בהרכב. בעונה שלאחר מכן, 2018/19, חזר לשמש כשוער הראשון של רעננה.
באוגוסט 2020 הושאל צור לשתי עונות לאנורתוסיס פמגוסטה מהליגה הקפריסאית הבכירה, שם שותף בשישה משחקי ליגה. ב-16 באוגוסט 2022 הצטרף לעירוני קריית שמונה.
צור אף רשם ארבע הופעות במדי נבחרת הנוער של ישראל. בספטמבר 2018 הפך לשוער הראשון של הנבחרת הצעירה עד גיל 21, תפקיד שבו החזיק עד לשנת 2021.